Berühmte ungleichungen

Einige berühmte Ungleichungen sind:

1. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung: \( |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \) für alle Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \) in einem Innenproduktraum.

2. Die Dreiecksungleichung: \( |a + b| \leq |a| + |b| \) für alle reellen Zahlen \( a \) und \( b \).

3. Die Bernoulli-Ungleichung: \( (1+x)^n \geq 1 + nx \) für alle reellen Zahlen \( x \geq -1 \) und natürlichen Zahlen \( n \).

4. Die Hölder-Ungleichung: \( \sum_{i=1}^{n} |x_i y_i| \leq \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^{n} |y_i|^q \right)^{1/q} \) für alle Vektoren \( x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) und \( y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \) in einem Vektorraum und reellen Zahlen \( p \) und \( q \) mit \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \).

Diese Ungleichungen haben breite Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.